Tìm kiếm tài liệu miễn phí

Chuyên đề 4: Tích phân - Chủ đề 4.2

Chuyên đề 4: Tích phân - Chủ đề 4.2 tích phân trình bày các kiến thức cơ bản như định nghĩa, tính chất cơ bản về tích phân và một số bài tập kèm theo có đáp án chi tiết, mời các bạn cùng tham khảo!



Đánh giá tài liệu

4.7 Bạn chưa đánh giá, hãy đánh giá cho tài liệu này


Chuyên đề 4: Tích phân - Chủ đề 4.2 Chuyên đề 4: Tích phân - Chủ đề 4.2 Chuyên đề 4 Tích phân, Bài tập về tích phân, Ôn tập về tích phân, Định nghĩa của tích phân, Tính chất của tích phân, Tích phân của hàm số
4.7 5 79
  • 5 - Rất hữu ích 57

  • 4 - Tốt 22

  • 3 - Trung bình 0

  • 2 - Tạm chấp nhận 0

  • 1 - Không hữu ích 0

Mô tả

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN

CHUYÊN ĐỀ 4. TÍCH PHÂN
Bài 2. TÍCH PHÂN
A - KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa
Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F là một nguyên hàm của f trên [a; b]. Hiệu số
F (b) − F ( a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b] của hàm số
b

∫ f ( x)dx.

f ( x ) ) kí hiệu là

a

b

Ta dùng kí hiệu F ( x) a = F (b) − F (a ) để chỉ hiệu số F (b) − F ( a) .
b

b

∫ f ( x)dx = F ( x) a = F (b) − F (a ) .

Vậy

a
b

Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi



b

f ( x)dx hay

a

∫ f (t )dt. Tích phân
a

đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.
Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì tích phân
b

∫ f ( x)dx

là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) , trục Ox và hai

a
b

đường thẳng x = a, x = b. Vậy S = ∫ f ( x )dx.
a

2. Tính chất của tích phân
a

1.



b

2.

f ( x)dx = 0

a



b

c

a

b

b

b
b

f ( x)dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx ( a < b < c ) 4.

a

5.


a

c

3.

a

f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx
b

∫ k. f ( x)dx = k.∫ f ( x)dx (k ∈ ℝ)
a

b

a

b

∫ [ f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx .
a

a

a

B - KỸ NĂNG CƠ BẢN
Một số phương pháp tính tích phân
Dạng 1. Tính tích phân theo công thức
Ví dụ 1: Tính các tính phân sau:
1

dx
a) I = ∫
.
3
0 (1 + x )

1

x
b) I = ∫
dx .
x +1
0

1

2x + 9
c) I = ∫
dx .
x+3
0

1

x
dx .
2
0 4− x

d) I = ∫

Hướng dẫn giải
1

1

dx
d(1 + x)
1
=∫
=−
3
3
(1 + x )
(1 + x)
2(1 + x ) 2
0
0

a) I = ∫

1

0

3
= .
8

Chủ đề 4.2 – Tích phân
Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com

1|THBTN
Mã số tài liệu: BTN-CD4
BTN-

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
1

b) I = ∫
0

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN

1

x
1 

1
dx = ∫  1 −
 dx = ( x − ln( x + 1) ) 0 = 1 − ln 2 .
x +1
x +1
0

1

1

1
2x + 9
3 

dx = ∫  2 +
 dx = ( 2 x + 3ln( x + 3) ) 0 = 3 + 6ln 2 − 3ln 3 .
x+3
x + 3
0
0

c) I = ∫

(

)

2
1
1
x
1 d 4− x
1
1 3
d) I = ∫
dx = − ∫
= − ln | 4 − x 2 | = − ln .
2
2
0
2 0 4− x
2
2 4
4− x
0
1

Bài tập áp dụng
1

1

1) I = ∫ x ( x − 1) dx .
3

4

2) I = ∫

5

0

0
1

(

)

2 x + 3 x + 1 dx .

16

3) I = ∫ x 1 − x dx .

dx

4) I = ∫

0

x+9 − x

0

.

Dạng 2. Dùng tính chất cận trung gian để tính tích phân
b

b

a

Sử dụng tính chất

b
a

a

∫ [ f ( x) + g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx

để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

2

Ví dụ 2: Tính tích phân I = ∫ | x + 1| dx .
−2

Hướng dẫn giải
 x + 1,
− x − 1,

Nhận xét: x + 1 = 

−1 ≤ x ≤ 2
− 2 ≤ x < −1

2

−1

2

−2

−2

.

−1

Do đó I = ∫ | x + 1| dx = ∫ | x + 1| dx + ∫ | x + 1| dx
−1

−1

2

2

 x2

 x2

= − ∫ ( x + 1) dx + ∫ ( x + 1) dx = −  + x  +  + x  = 5
 2
 −2  2
 −1
−2
−1

Bài tập áp dụng
3

2

1) I = ∫ | x 2 − 4 | dx .

2) I = ∫ | x 3 − 2 x 2 − x + 2 | dx .

−4

−1

π
3

3) I = ∫ | 2 − 4 | dx .
x

4) I =

0

2

∫π 2 | sin x | dx .



π

5) I = ∫ 1 + cos 2 xdx .
0

2

Dạng 3. Phương pháp đổi biến số
1) Đổi biến số loại 1
Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số u = u ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn
[a; b] và α ≤ u ( x ) ≤ β . Giả sử có thể viết f ( x) = g (u ( x))u ′( x), x ∈ [a;b], với g liên tục trên
đoạn [α ; β ]. Khi đó, ta có
b

I = ∫ f ( x)dx =
a

u (b )



g (u )du.

u (a)

π
2

Ví dụ 3: Tính tích phân I = ∫ sin 2 x cos xdx .
0

Chủ đề 4.2 – Tích phân
Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com

2|THBTN
Mã số tài liệu: BTN-CD4
BTN-

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN
Hướng dẫn giải

Đặt u = sin x. Ta có du = cos xdx. Đổi cận: x = 0 ⇒ u (0) = 0; x =

π 
⇒ u   = 1.
2
2

π

π
2

1

0

0

1

1
3

1
3

Khi đó I = ∫ sin 2 x cos xdx = ∫ u 2 du = u 3 = .
0

Bài tập áp dụng
1

1) I = ∫ x x + 1dx .
2

1

e

2) I = ∫ x x + 1dx .

0

0

e2

1 + ln x
dx .
x

3) I = ∫

3

1

4) I = ∫
e

dx
.
2 x 2 + ln x

Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân

Dấu hiệu

Có thể đặt

Ví dụ
I=∫

3

x 3 dx
. Đặt t = x + 1
x +1

1



2

Có (ax + b) n dx

t = ax + b

I = ∫ x( x + 1) 2016 dx . Đặt t = x + 1

3

Có a f ( x ) dx

t = f ( x)

I =∫4

4



f ( x)dx

dx
và ln x
x

t=

f ( x)

0
1

0

e tan x +3
dx . Đặt t = tan x + 3
0 cos 2 x
e ln xdx
I =∫
. Đặt t = ln x + 1
1 x (ln x + 1)
π

t = ln x hoặc biểu thức
chứa ln x

t = e x hoặc biểu thức

I =∫

ln 2 2 x

e

3e x + 1dx . Đặt t = 3e x + 1

5

Có e dx

6

Có cos xdx

t = sin x

I = ∫ 2 sin 3 x cos xdx . Đặt t = sin x

7

Có sin xdx

t = cos x

I =∫

8

dx

cos 2 x

t = tan x

I =∫4

9



dx
sin 2 x

t = cot x

I = ∫π4

x

0

chứa e x

π

0

π

0

sin 3 x
dx Đặt t = 2cos x + 1
2cos x + 1

π

π

1
1
dx = ∫ 4 (1 + tan 2 x)
dx
0 cos 4 x
0
cos 2 x
Đặt t = tan x
π
6

π

ecot x
ecot x
dx = ∫π4
dx . Đặt t = cot x
1 − cos 2 x
2sin 2 x
6

2) Đổi biến số loại 2

Cho hàm số f ( x ) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [ a; b]. Giả sử hàm số x = ϕ (t) có đạo hàm và
liên tục trên đoạn [α ; β ] sao cho ϕ (α ) = a,ϕ ( β ) = b và a ≤ ϕ (t ) ≤ b với mọ i t ∈[α ; β ]. Khi đó:
b



β

f ( x )dx = ∫ f (ϕ (t ))ϕ ′(t )dt.

a

α

Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng
π π
1. a 2 − x 2 : đặt x =| a | sin t; t ∈ − ; 


 2 2

|a|
 π π
; t ∈  − ;  \ {0}
sin t
 2 2

2.

x 2 − a 2 : đặt x =

3.

 π π
x 2 + a 2 : x = a tan t ; t ∈  − ; 
 2 2

Chủ đề 4.2 – Tích phân
Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com

3|THBTN
Mã số tài liệu: BTN-CD4
BTN-

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
a+x
hoặc
a−x

4.

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN

a−x
: đặt x = a.cos 2t
a+x

Ví dụ 4: Tính các tích phân sau:
1

1

dx
.
2
0 1+ x

a) I = ∫ 1 − x 2 dx .

b) I = ∫

0

Hướng dẫn giải

a) Đặt x = sin t ta có dx = cos tdt. Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t =
π
2

2

0

0

2

.

π

1

π

0

π

Vậy I = ∫ 1 − x 2 dx = ∫ cos t dt = ∫ cos tdt = sin t |02 = 1.
b) Đặt x = tan t , ta có dx = (1 + tan 2 t ) dt . Đổi cận: khi x = 0 ⇒ t = 0 ; khi x = 1 ⇒ t =

π
4

.

π
1

π

4
dx
π
4
= ∫ dt = t |0 = .
2
4
1+ x
0
0

Vậy I = ∫

Dạng 4. Phương pháp tính tích phân từng phần
Định lí : Nếu u = u ( x ) và v = v( x ) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [a; b] thì
b

b

b

∫ u ( x)v′( x)dx = ( u( x)v( x) ) a − ∫ u′( x)v( x)dx ,
a

a

b

b

b

a

a

a

b
∫ udv = uv |a −∫ vdu . Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính I = ∫ P( x).Q( x)dx

hay

Dạng
hàm

P ( x ) : Đa thức

sin ( kx )

Q ( x) : 
cos ( kx )


* u = P ( x)
* dv là Phần còn lại
Cách
của biểu thức dưới
đặt
dấu tích phân

P ( x ) : Đa thức
P ( x ) : Đa thức

P ( x ) : Đa thức

Q ( x ) : e kx

Q ( x ) : ln ( ax + b )

* u = P ( x)
* dv là Phần còn
lại của biểu thức
dưới dấu tích
phân

* u = ln ( ax + b )
* dv = P ( x ) dx

 1
 sin 2 x

Q ( x) : 
 1
 cos 2 x

* u = P ( x)
* dv là Phần còn lại
của biểu thức dưới
dấu tích phân

Thông thường nên chú ý: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”.
Ví dụ 5: Tính các tích phân sau:
π
2

a) I = ∫ x sin xdx.

1

e−1

b) I =

0

c) I = ∫ x ln (1 + x 2 ) dx

∫ x ln( x + 1)dx .
0

0

Hướng dẫn giải
u = x
 du = dx
⇒
.
 dv = sin xdx
v = − cos x

a) Đặt 

π
2

Do đó I = ∫ x sin xdx = ( − x cos x )
0

π
π
2
|0

2

π

2
+ ∫ cos xdx = 0 + sin x |0 = 1.
0

Chủ đề 4.2 – Tích phân
Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com

4|THBTN
Mã số tài liệu: BTN-CD4
BTN-

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN

1

 du = x + 1 dx
u = ln( x + 1) 
b) Đặt 
⇒
2
dv = xdx
v = x − 1

2

e−1

I=


0

=

e −1

e−1


x2 − 1
1
e 2 − 2e + 2 1  x 2
x ln( x + 1)dx = ln( x + 1)
− ∫ ( x − 1)dx =
−  − x

2 0
2 0
2
2 2



e−1
0

e 2 − 2e e 2 − 4e + 3 e 2 − 3

=
.
2
4
4

2x

u = ln (1 + x 2 ) du = x 2 + 1 dx


c) Đặt 
⇒
.
dv = xdx
v = 1 ( x 2 + 1)



2
1

Ta có: I =

1

1

1 2
1
( x + 1) ln ( x 2 + 1) − ∫ xdx = ln 2 − 2 x 2 = ln 2 − 1 .
2
2
0
0
0

Bài tập áp dụng
π
1

1) I = ∫ (2 x + 2)e x dx .
0

2

2) I = ∫ 2 x.cos xdx .
0



3) I =


0

x
x 2 .sin dx .
2

Chủ đề 4.2 – Tích phân
Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com

1

4) I = ∫ ( x + 1)2 e 2 x dx .
0

5|THBTN
Mã số tài liệu: BTN-CD4
BTN-

Tài liệu cùng danh mục Trung học phổ thông

Ebook Những điều cần biết luyện thi đại học - Kỹ thuật giải nhanh Hình học phẳng OXY: Phần 2

Nối tiếp nội dung phần 1 cuốn sách "Những điều cần biết luyện thi đại học - Kỹ thuật giải nhanh Hình học phẳng OXY", phần 2 giới thiệu các nội dung: Đường tròn, ba đường Côníc, bài toán chọn lọc và rèn luyện nâng cao. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.


Test on the negative form of words

Tham khảo tài liệu 'test on the negative form of words', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả


Ôn tập trắc nghiệm môn hóa 12 về AL-Fe

Các bạn học sinh và quý thầy cô tham khảo miễn phí Ôn tập trắc nghiệm môn hóa 12 về AL-Fe để hệ thống kiến thức học tập cũng như trau dồi kinh nghiệm ra đề thi


Ôn tập hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, nhị thức Niwtơn - GV. Nguyễn Thành Hưng

Nhằm giúp các bạn có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình học tập và ôn thi môn Toán, mời các bạn cùng tham khảo nội dung tài liệu "Ôn tập hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, nhị thức Niwtơn" dưới đây. Nội dung đề cương gồm những câu hỏi bài tập về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, nhị thức Niwtơn. Chúc các bạn thi tốt.


Cách giải bài tập thuộc quy luật Menđen

Phương pháp giải bài tập quy luật Menđen thường qua 3 giai đoạn cơ bản : - Quy ước gen - Xác định kiểu gen của bố mẹ - Lập sơ đồ lai


Một số bài ca dao chủ đề duyên phận

Cũng thì phát rẫy một bên, Bắp nẫu ra trái, bắp mình quên trổ cờ. 2. Cũng vì ngọn nước sông Dinh, Nay trừng mai rặc, điệu chung tình nổi trôi 3. Buồn hư rồi lại buồn hao Liều mình tự ải ra nhào biển Đông Sống làm chi cho vợ khổng gặp chồng Kẻ ăn lê lựu


Giáo án Vật lý 12 - THỰC HÀNH NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC VÀ HIỆN TƯỢNG CỘNG HƯỞNG BẰNG CON LẮC ĐƠN

Sau khi làm bài thực hành này, HS cần biết vận dụng các kiến thức về dao động cơ để thực hiện được hai mục tiêu chính là : Tạo được dao động cưỡng bức và hiện tượng cộng hưởng với các con lắc đơn. Kiểm nghiệm điều kiện xảy ra cộng hưởng trong dao động của nhiều con lắc đơn. Để đạt hai mục tiêu cụ thể này cần rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức mà đặc biệt là kĩ năng giải thích vào các hiện tượng thực tế quan sát được, đồng thời tiếp tục...


Ebook Bài tập nâng cao hóa vô cơ - Chuyên đề vận tốc phản ứng, cân bằng ứng suất, áp suất: Phần 2

Nối tiếp nội dung phần 1 cuốn sách "Bài tập nâng cao hóa vô cơ - Chuyên đề vận tốc phản ứng, cân bằng ứng suất, áp suất", phần 2 cung cấp cho người đọc các bài tập về thành phần hỗn hợp khí và áp suất. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.


Bài tập về dung dich điện li

A. Tính dẫn điện của các dung dịch axit, bazơ và muối là do trong dung dịch của chúng có các ion. B. Những chất tan trong nước phân li ra ion được gọi là những chất điện li.


DANH NHÂN NGUYỄN TRÃI - SỰ HỘI TỤ NHỮNG TINH HOA CỦA VĂN HÓA THĂNG LONG THỜI LÝ TRẦN_2

Tham khảo bài viết 'danh nhân nguyễn trãi - sự hội tụ những tinh hoa của văn hóa thăng long thời lý trần_2', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả


Tài liệu mới download

Từ khóa được quan tâm

CTV FACE

Có thể bạn quan tâm

Lịch sử lớp 10 Bài 15
  • 25/09/2010
  • 45.062
  • 927
Ôn tập sinh học 12
  • 25/04/2011
  • 66.656
  • 659
Kiểm tra giữa kì Điện hoc
  • 24/11/2011
  • 56.259
  • 374

Bộ sưu tập

Danh mục tài liệu